Arbeitsbuch Mathematik fuer Ingenieure by Finckenstein, Lehn, Schellhaas, Wegmann

By Finckenstein, Lehn, Schellhaas, Wegmann

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Zum Beispiel ist die Wahrscheinlichkeit, dass in einer zuf¨allig gew¨ahlten siebenstelligen Telefonnummer eine Ziffer doppelt auftritt, bemerkenswert hoch, sie ist gleich 94 Prozent. (In diesem Fall wurden sieben zuf¨allige Ziffern aus 0, 1, . . ) W¨are das nicht ein Ausgangspunkt f¨ ur eine kleine Wette? Ich wette zum Beispiel – ohne großes Risiko –, dass in Ihrer Telefonnummer mindestens eine Ziffer doppelt auftritt. Wie bestimmt man diese Wahrscheinlichkeiten? Der allgemeine Rahmen ist der folgende: Gegeben sind n Objekte, und daraus wird r Mal eins ausgew¨ahlt.

Die erste scheidet f¨ ur uns Sterbliche leider aus: Wer in die Zukunft sehen und das Ergebnis des M¨ unzwurfs voraussagen k¨ onnte, m¨ usste nur die Spielrunden ausw¨ahlen, die zum Gewinn f¨ uhren. Das ist im Mittel jede zweite, in einer Nacht kommt da eine Menge zusammen. Das zweite Verfahren ist anstrengender und weit weniger ergiebig, es ist unter Spielern wohlbekannt. Die Idee ist einfach. Man setze zun¨achst einen Euro. Gewinnt man, ist man um einen Euro reicher, andernfalls setzt man in der n¨achsten Spielrunde zwei Euro.

Wenn sich jemand zum Beispiel vorgenommen hat, jedem Bettler, den er heute sieht, f¨ unf Euro zu schenken, so hat er seinen guten Vorsatz auch dann gehalten, wenn er keinen Bettler treffen sollte. Die leere Menge verh¨alt sich wie die Null Dass die leere Menge der Null bei den Zahlen entspricht, soll hier noch pr¨azisiert werden. Dazu muss man wissen, dass die Vereinigung von zwei Mengen A, B aus all denjenigen Elementen besteht, die in A, in B oder sowohl in A als auch in B enthalten sind. Besteht etwa A aus den Zahlen 2, 5, 6 und B aus den Zahlen 6, 8, so wird die Vereinigung aus den Zahlen 2, 5, 6, 8 gebildet.

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