Digitale Bildsignalverarbeitung. Grundlagen, Verfahren, by Friedrich M. Wahl ,Hans Marko

By Friedrich M. Wahl ,Hans Marko

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Hierdurch werden die kleineren Amplitudenwerte der Spektren bei h¨ oheren Ortsfrequenzen wesentlich besser sichtbar, was die visuelle Interpretation von Ortsfrequenzspektren oft vereinfacht. 11d beispielsweise eine helle vertikale Ortsspektrallinie hervor; diese kann durch die implizit vorhandene periodische Fortsetzung des diskreten Bildes erkl¨art werden. 11a als periodisch fortgesetzte Funktion, so sieht man, daß durch die dann aneinandergrenzenden oberen und unteren Bildr¨ ander jeweils kontrastreiche vertikale Helligkeitsspr¨ unge entstehen, die horizontale cos-f¨ormige Wellenfunktionen aller Perioden enthalten, was einer vertikalen linienhaften Belegung im Ortsfrequenzbereich entspricht.

Die Namen beider Transformationen werden in der Literatur oft synonym verwendet; beide Transformationen werden auch h¨ aufig mit dem Begriff Walsh-HadamardTransformation bezeichnet. Die zweidimensionale Hadamardtransformation ist definiert als M−1 N −1 p−1 f (m, n)(−1) H(k, l) = i=0 bi (m)bi (k) q−1 (−1) i=0 bi (n)bi (l) (2-170) m=0 n=0 wobei p, q, br (s) wie bei der Walshtransformation im vorigen Beispiel definiert sind. (2-158) schreiben p−1 [H(k, l)] = (−1) i=0 bi (m)bi (k) q−1 [f (m, n)] (−1) i=0 bi (n)bi (l) (2-171) Entsprechend l¨ aßt sich die Hadamardr¨ ucktransformation 1 f (m, n) = MN M−1 N −1 p−1 H(k, l)(−1) i=0 bi (k)bi (m) q−1 (−1) i=0 bi (l)bi (n) (2-172) k=0 l=0 auch schreiben als p−1 [f (m, n)] = (−1) i=0 bi (k)bi (l) q−1 [H(k, l)] (−1) i=0 bi (l)bi (n) (2-173) BEISPIEL 4: Kosinustransformation Die zweidimensionale diskrete Kosinustransformation, die als Entwicklung mit diskreten reellwertigen trigonometrischen Basisfunktionen mit Phase 0 als Abwandlung der diskreten Fouriertransformation aufgefaßt werden kann, ist wie folgt definiert: M−1 N −1 f (m, n)[cos(2m + 1)kπ][cos(2n + 1)lπ] C(k, l) = (2-174) m=0 n=0 Die Basisfunktionen g(m, n, k, l) sind also abgetastete Kosinusfunktionen.

2-96) ebenfalls eine periodische Funktion in den Variablen k, m und l, n ist. (2-96) erf¨ ullt ist. h. f¨ ur {0 ≤ k ≤ M − 1 ∩ 0 ≤ l ≤ N − 1} ist F˜ (k + ξM, l + ηN ) = F˜ (k, l) (2-98) wobei {0 ≤ k ≤ M −1 ∩ 0 ≤ l ≤ N −1} und ξ, η wiederum beliebige ganze Zahlen sind. Die diskrete Fouriertransformierte F (k, l) der Funktion f (m, n) wird nun mit Hilfe der Fensterfunktion RMN (ξ, η) = 1 f¨ ur 0 ≤ ξ ≤ M − 1 ∩ 0 ≤ η ≤ N − 1 0 sonst (2-99) definiert als F (k, l) = F˜ (k, l)RMN (k, l) (2-100) Entsprechend ist bei der diskreten Fourierr¨ ucktransformation f (m, n) = f˜(m, n)RMN (m, n) (2-101) Bei der numerischen Berechnung der diskreten Fouriertransformation bzw.

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